Las series de Taylor surgen de una ecuación que el desarrollo en la
cual se puede encontrar una solución aproximada a una función.
Esto creo que servía antes de que se inventaran las calculadoras
que pueden resolver funciones trigonométricas y exponenciales y
logarítmicas etc.
La serie de Taylor se basa en ir haciendo operaciones según una
ecuación general y mientras mas operaciones tenga la serie mas
exacto será el resultado que se esta buscando. Dicha ecuación es la
siguiente:
Con el objetivo solo de demostrar la serie se aplicara con las
funciones e, seno y coseno.
Como se puede observar en la ecuación, hay una parte en la cual hay
que desarrollar un binomio (x-a)n por lo que para simplificar el
asunto se igualara a "a" siempre a 0. Para fines prácticos no
afecta mucho en el resultado si se hacen muchas operaciones en la
serie.
Función e
Se puede aplicar la ecuación de las series de Taylor como mas
sencillo le resulte a cada quien, una de tantas formas la explicare
aquí.
Lo primero que se hace es derivar unas 3 o 4 veces la función, esto
porque algunas funciones empiezan a tener un patrón repetitivo
después de cierto numero de derivaciones, como la función e.
Después se tiene que sustituir "a" en cada una de las derivadas,
pero como se decidió que "a" era 0 se sustituye un 0 en cada
derivada y se observa que resultados da.
Esto de sustituir en cada derivada es
solo para simplificar la ecuación de la serie y para darnos una
idea de como se comporta la función.
Una vez que se tiene una idea del comportamiento de la función se
puede ir empezando a armar la ecuación de la serie:
Con las primeras operaciones que
se hicieron al principio se puede ver como se ira llenando la serie
mientras mas elementos se le agreguen para que el resultado sea mas
preciso.
Todo esto fue para ver como es la serie de la función e, ahora para
conocer algun resultado simplemente se sustituye en donde quedaron
las x y ya esta, por ejemplo:?
Función Seno
En el caso de la función seno el procedimiento que se sigue es el
mismo.
Kline, M. (1990) Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. Oxford University Press. pp. 35-37.
↑ Boyer, C. and Merzbach, U. (1991) A History of Mathematics. John Wiley and Sons. pp. 202-203.
↑ «Neither Newton nor Leibniz - The Pre-History of Calculus and Celestial Mechanics in Medieval Kerala». MAT 314. Canisius College.
cual se puede encontrar una solución aproximada a una función.
Esto creo que servía antes de que se inventaran las calculadoras
que pueden resolver funciones trigonométricas y exponenciales y
logarítmicas etc.
La serie de Taylor se basa en ir haciendo operaciones según una
ecuación general y mientras mas operaciones tenga la serie mas
exacto será el resultado que se esta buscando. Dicha ecuación es la
siguiente:
Con el objetivo solo de demostrar la serie se aplicara con las
funciones e, seno y coseno.
Como se puede observar en la ecuación, hay una parte en la cual hay
que desarrollar un binomio (x-a)n por lo que para simplificar el
asunto se igualara a "a" siempre a 0. Para fines prácticos no
afecta mucho en el resultado si se hacen muchas operaciones en la
serie.
Función e
Se puede aplicar la ecuación de las series de Taylor como mas
sencillo le resulte a cada quien, una de tantas formas la explicare
aquí.
Lo primero que se hace es derivar unas 3 o 4 veces la función, esto
porque algunas funciones empiezan a tener un patrón repetitivo
después de cierto numero de derivaciones, como la función e.
Después se tiene que sustituir "a" en cada una de las derivadas,
pero como se decidió que "a" era 0 se sustituye un 0 en cada
derivada y se observa que resultados da.
Esto de sustituir en cada derivada es
solo para simplificar la ecuación de la serie y para darnos una
idea de como se comporta la función.
Una vez que se tiene una idea del comportamiento de la función se
puede ir empezando a armar la ecuación de la serie:
Con las primeras operaciones que
se hicieron al principio se puede ver como se ira llenando la serie
mientras mas elementos se le agreguen para que el resultado sea mas
preciso.
Todo esto fue para ver como es la serie de la función e, ahora para
conocer algun resultado simplemente se sustituye en donde quedaron
las x y ya esta, por ejemplo:?
Función Seno
En el caso de la función seno el procedimiento que se sigue es el
mismo.
Kline, M. (1990) Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. Oxford University Press. pp. 35-37.
↑ Boyer, C. and Merzbach, U. (1991) A History of Mathematics. John Wiley and Sons. pp. 202-203.
↑ «Neither Newton nor Leibniz - The Pre-History of Calculus and Celestial Mechanics in Medieval Kerala». MAT 314. Canisius College.
http://www.youtube.com/watch?v=cjPoEZ0I5wQ
No hay comentarios:
Publicar un comentario