jueves, 23 de junio de 2011
miércoles, 8 de junio de 2011
3.1.2 Area Entre las Graficas de Funciones
Una forma para hallar el área delimitada entre dos funciones, es utilizando el cálculo integral:
El resultado de esta integral es el área comprendida entre las curvas:
f(x) y g(x)[<f(x)] y en el intervalo [a,b] .
Ejemplo Si se quiere hallar el área delimitada entre el eje x y la función
f(x) = 4 − x2 en el intervalo [ − 2;2], se utiliza la ecuación anterior, en este caso:
g(x) = 0 entonces evaluando la integral, se obtiene:
f(x) = 4 − x2 en el intervalo [ − 2;2], se utiliza la ecuación anterior, en este caso:
g(x) = 0 entonces evaluando la integral, se obtiene:
Ejemplo de Aplicación 1:
Ejemplo De Aplicacion 2:
3.2 Longitud De Curvas
La longitud de arco de una curva, también llamada rectificación de una curva, es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas, la llegada del calculo trajo consigo la fórmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos.
Formula General La longitud de una curva plana se puede aproximar al sumar pequeños segmentos de recta que se ajusten a la curva, esta aproximación será más ajustada entre más segmentos sean y a la vez sean lo más pequeño posible. , escogiendo una familia finita de puntos en C, y aproximar la longitud mediante la longitud de la poligonal que pasa por dichos puntos.
Cuantos más puntos escojamos en C, mejor seria el valor obtenido como aproximación de la longitud de C.
(VER IMAGEN 1.0)
Imagen 1.0Si la primera derivada de una función es continua en [a,b] se dice que es suave y su gráfica es una curva suave. (VER IMAGEN 2.0)
Imagen 2.0Cuando la curva es suave, la longitud de cada pequeño segmentos de recta se puede calcular mediante el teorema de Pitágoras (dL)2=(dx)2+(dy)2.
Imagen 2.0Si f es suave en [a,b], la longitud de la curva de f(x) desde a hasta b es:
Video Explicando el desarrollo de la longitud del arco de una curva:
Ejemplos:
jueves, 2 de junio de 2011
3.3 Calculo de volumenes de solidos de revolucion
Metodo del disco:
Si giramos una region del plano alrededor de un eje obtenemos un solido de revolucio. El volumen de este disco de radio R y de anchura w es:
Volumenes del disco= R2 w
Para ver como usar el volumen del disco y para calcular el volumen de un solido de revolucion general,se hacen n particiones en la grfica
Fuente:
http://s3.amazonaws.com/lcp/analisis-matematico/myfiles/SOLIDOSDEREVOLUCION.pdf
Si giramos una region del plano alrededor de un eje obtenemos un solido de revolucio. El volumen de este disco de radio R y de anchura w es:
Para ver como usar el volumen del disco y para calcular el volumen de un solido de revolucion general,se hacen n particiones en la grfica
Metodo de la arandela:
Este metodo consiste en hallar el volumen de un solido generado al girar una region R que se encuentra entre 2 curvas como se muestra:
Si la region que giramos para formar un solido no toca o cruza el eje de rotacion,el solido generado tendraun hueco o agujero.Las secciones transversales que tambien son perpendiculares al eje de rotacion son arandelas en lugar de discos.
Metodo de los casquillos cilindricos:
Este metodo es tambien llamado metodo de capas. El método de los casquillos usa como elemento representativo de volumen un cilindro que es generado al girar un rectángulo, orientado de forma paralela al eje de revolución. En primer lugar es necesario que desarrollemos la formula para el volumen del cilindro diferencial.
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Fuente:
http://s3.amazonaws.com/lcp/analisis-matematico/myfiles/SOLIDOSDEREVOLUCION.pdf
3.4 Calculo de centroides
Calculo de la Centroides por medio de la integración.
1. Preparar un esquema del cuerpo a escala.
2. Establecer un sistema de coordenadas, en la mayoría de los cuerpos que sean superficies planas, se utilizan coordenadas rectangulares, siempre que el cuerpo presente un eje o un plano de simetría se tomara uno de los ejes, el centroide se encontrara siempre sobre tal eje.
3. Seleccionar un elemento de volumen , superficie o longitud.. para la determinación del centro de masa o centro de gravedad determinar la masa o el peso del elemento utilizando la expresión adecuada de la densidad o del peso especifico.
4. Escribir una expresión del primer momento del elemento respecto a uno de los ejes o planos de referencia. Integrar la expresión para determinar el primer momento.
5. Utilizar la ecuación adecuada para obtener las coordenadas del centroide.
6. Repetir los pasos del 3 al 5 con las coordenadas obtenidas.
Otras integrales
A pesar de que las integrales de Riemann y Lebesgue son las definiciones más importantes de integral, hay unas cuantas más, por ejemplo:
* La integral de Riemann-Stieltjes, una extensión de la integral de Riemann.
* La integral de Lebesgue-Stieltjes, desarrollada por Johann Radon, que generaliza las integrales de Riemann-Stieltjes y de Lebesgue.
* La integral de Daniell, que incluye la integral de Lebesgue y la integral de Lebesgue-Stieltjes sin tener que depender de ninguna medida.
* La integral de Henstock-Kurzweil, definida de forma variada por Arnaud Denjoy, Oskar Perron, y Jaroslav Kurzweil, y desarrollada por Ralph Henstock.
* La integral de Darboux, que es equivalente a la integral de Riemann.
* La integral de Haar, que es la integral de Lebesgue con la medida de Haar.
* La integral de McShane.
* La integral de Buchner
Otras aplicaciones para las integrales.
* Área entre curvas.
* Sólidos de revolución.
* Longitud de curvas.
Aqui una pequeña definicion y un ejemplo de como calcular un centroide:
Fuente:
http://www.buenastareas.com/ensayos/Calculo-De-Las-Centroides/629887.html
miércoles, 1 de junio de 2011
3.5 Otras aplicaciones
En geometría, el centroide, centro geométrico o baricentro de una figura plana o tridimensional forma dos X es la intersección de todas las líneas rectas que dividen a X en dos partes de igual momento sobre la línea. Informalmente, es el “promedio” (media aritmética) de todos los puntos de X. La definición se extiende a todo objeto X de n - dimensiones del espacio: su centro de gravedad es la intersección de todos los hiperplanos que dividen a X en dos partes de igual momento.
En la física, la palabra centroide significa que el centro geométrico del objeto de la forma, como antes, pero baricentro también puede significar su físico centro de la masa o el centro de gravedad, según el contexto. Informalmente, el centro de la masa (y centro de gravedad en un campo gravitatorio uniforme) es el promedio de todos los puntos, ponderado por el local de la densidad o peso específico. Si un objeto físico tiene uniforme de densidad, entonces su centro de masa es el mismo que el centro de gravedad de su forma.
En geografía, el centro de gravedad de una región de la superficie de la Tierra, proyectada radialmente sobre dicha superficie, se conoce como su centro geográfico.
Propiedades
El centroide geométrico de un objeto convexo siempre se encuentra en el objeto. Un objeto A-convexa no puede tener un centro de gravedad que está fuera de la propia figura. El centro de gravedad de un anillo o un tazón de fuente, por ejemplo, se encuentra en la central de vacío del objeto.
Si el centro de gravedad se define, se trata de un punto fijo de todas las isometrías en su grupo de simetría. En particular, el centroide geométrico de un objeto se encuentra en la intersección de todos los hiperplanos de simetría. El centro de gravedad de muchas figuras ( polígono regular, poliedro regular, cilindro, rectángulo, rombo, círculo, esfera, elipse, elipsoide, superelipse, superelipsoide, etc) puede ser determinada por este principio.
En particular, el centro de gravedad de un paralelogramo es el punto de encuentro de sus dos diagonales. Esto no es cierto para otros cuadriláteros. Por la misma razón, el centro de gravedad de un objeto con simetría traslacional no está definido (o se encuentra fuera del espacio envolvente), debido a una traducción no tiene ningún punto fijo.
Método de línea de plomada
El centroide de una lámina de dos dimensiones uniformes, tales como (a) a continuación, se puede determinar, de forma experimental, utilizando una plomada y un alfiler para encontrar el centro de masa de un cuerpo delgado de densidad uniforme que tiene la misma forma. El cuerpo está en manos de la clavija insertada en un punto cerca del perímetro del cuerpo, de tal manera que puede girar libremente alrededor del perno y la plomada se deja caer desde el pasador (b). La posición de la plomada se traza en el cuerpo. El experimento se repite con la clavija insertada en un punto diferente del objeto. La intersección de las dos líneas es el centro de gravedad de la figura ©.
En la física, la palabra centroide significa que el centro geométrico del objeto de la forma, como antes, pero baricentro también puede significar su físico centro de la masa o el centro de gravedad, según el contexto. Informalmente, el centro de la masa (y centro de gravedad en un campo gravitatorio uniforme) es el promedio de todos los puntos, ponderado por el local de la densidad o peso específico. Si un objeto físico tiene uniforme de densidad, entonces su centro de masa es el mismo que el centro de gravedad de su forma.
En geografía, el centro de gravedad de una región de la superficie de la Tierra, proyectada radialmente sobre dicha superficie, se conoce como su centro geográfico.
Propiedades
El centroide geométrico de un objeto convexo siempre se encuentra en el objeto. Un objeto A-convexa no puede tener un centro de gravedad que está fuera de la propia figura. El centro de gravedad de un anillo o un tazón de fuente, por ejemplo, se encuentra en la central de vacío del objeto.
Si el centro de gravedad se define, se trata de un punto fijo de todas las isometrías en su grupo de simetría. En particular, el centroide geométrico de un objeto se encuentra en la intersección de todos los hiperplanos de simetría. El centro de gravedad de muchas figuras ( polígono regular, poliedro regular, cilindro, rectángulo, rombo, círculo, esfera, elipse, elipsoide, superelipse, superelipsoide, etc) puede ser determinada por este principio.
En particular, el centro de gravedad de un paralelogramo es el punto de encuentro de sus dos diagonales. Esto no es cierto para otros cuadriláteros. Por la misma razón, el centro de gravedad de un objeto con simetría traslacional no está definido (o se encuentra fuera del espacio envolvente), debido a una traducción no tiene ningún punto fijo.
Método de línea de plomada
El centroide de una lámina de dos dimensiones uniformes, tales como (a) a continuación, se puede determinar, de forma experimental, utilizando una plomada y un alfiler para encontrar el centro de masa de un cuerpo delgado de densidad uniforme que tiene la misma forma. El cuerpo está en manos de la clavija insertada en un punto cerca del perímetro del cuerpo, de tal manera que puede girar libremente alrededor del perno y la plomada se deja caer desde el pasador (b). La posición de la plomada se traza en el cuerpo. El experimento se repite con la clavija insertada en un punto diferente del objeto. La intersección de las dos líneas es el centro de gravedad de la figura ©.
Este método puede ser extendido (en teoría) a las formas cóncavas en el centro de gravedad se encuentra fuera de la forma, y los sólidos (de densidad uniforme), pero las posiciones de las líneas de plomo deben ser registrados por cualquier otro medio de dibujo.Este método puede ser extendido (en teoría) a las formas cóncavas en el centro de gravedad se encuentra fuera de la forma, y los sólidos (de densidad uniforme), pero las posiciones de las líneas de plomo deben ser registrados por cualquier otro medio de dibujo.
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Este método puede ser extendido (en teoría) a las formas cóncavas en el centro de gravedad se encuentra fuera de la forma, y los sólidos (de densidad uniforme), pero las posiciones de las líneas de plomo deben ser registrados por cualquier otro medio de dibujo.
martes, 31 de mayo de 2011
4.1 Definición de serie
En matemáticas, una serie es la suma de los términos de una sucesión.
Se representa una serie con términos an como
Siendo N es el índice final de la serie.
Siendo N es el índice final de la serie.
Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales.
Las series convergen o divergen.
Una serie diverge si
No existe o si tiende a infinito;
Converge si:
Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales, es decir, .
Las series convergen o divergen. En cálculo, una serie diverge si no existe o si tiende a infinito; puede converger si para algún .
Serie finita
xi = 0 para todo i > n y yi = 0 para todo i > m. En este caso el producto de Cauchy de y se verifica es . Por lo tanto, para series finitas (que son sumas finitas), la multiplicación de Cauchy es directamente la multiplicación de las series.
Serie infinita
Primer ejemplo. Para alguna , sea y . Entonces
Las series convergen o divergen. En cálculo, una serie diverge si no existe o si tiende a infinito; puede converger si para algún .
Serie finita
xi = 0 para todo i > n y yi = 0 para todo i > m. En este caso el producto de Cauchy de y se verifica es . Por lo tanto, para series finitas (que son sumas finitas), la multiplicación de Cauchy es directamente la multiplicación de las series.
Serie infinita
Primer ejemplo. Para alguna , sea y . Entonces
por definición y la fórmula binomial. Dado que, formalmente, y , se ha demostrado que . Como el límite del producto de Cauchy de dos series absolutamente convergentes es igual al producto de los límites de esas series (véase debajo), se ha demostrado por lo tanto la fórmula exp(a + b) = exp(a)exp(b) para todo .
Segundo ejemplo. Sea x(n) = 1 para todo . Entonces C(x,x)(n) = n + 1 para todo por lo tanto el producto de Cauchy y no es convergente.
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