Calculo Integral: mayo 2011

martes, 31 de mayo de 2011

4.1 Definición de serie

En matemáticas, una serie es la suma de los términos de una sucesión.

Se representa una serie con términos an como
Siendo N es el índice final de la serie.

Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales.

Las series convergen o divergen.

Una serie diverge si

No existe o si tiende a infinito;
Converge si:

Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales, es decir, .
Las series convergen o divergen. En cálculo, una serie diverge si   no existe o si tiende a infinito; puede converger si   para algún .
Serie finita
xi = 0 para todo i > n y yi = 0 para todo i > m. En este caso el producto de Cauchy de   y   se verifica es . Por lo tanto, para series finitas (que son sumas finitas), la multiplicación de Cauchy es directamente la multiplicación de las series.
Serie infinita
Primer ejemplo. Para alguna , sea   y . Entonces

por definición y la fórmula binomial. Dado que, formalmente, y , se ha demostrado que . Como el límite del producto de Cauchy de dos series absolutamente convergentes es igual al producto de los límites de esas series (véase debajo), se ha demostrado por lo tanto la fórmula exp(a + b) = exp(a)exp(b) para todo .

Segundo ejemplo. Sea x(n) = 1 para todo . Entonces C(x,x)(n) = n + 1 para todo por lo tanto el producto de Cauchy y no es convergente.

4.2 SERIE NUMERICA Y CONVERGENCIA PRUEBA DE LA RAZÓN (criterio de D´Alembert) y PRUEBA DE LA RAÍZ (criterio de Cauchy).

Imaginemos que se va a celebrar una carrera con las siguientes reglas:

1. El primer minuto debe recorrerse 100 metros.

2. El minuto siguiente debe recorrerse la mitad, 50 metros.

3. El minuto siguiente debe recorrerse la mitad del anterior, 25 metros.

4. El minuto siguiente dee recorrerse la mitad del anterior, 12,50 metros.
y as´ı sucesivamente.

Por otra parte, al mismo tiempo empieza otra carrera, con las reglas ligeramente
modificadas:

1. El primer minuto se recorren 100 metros.

2. El minuto siguiente se recorren la mitad de 100 metros, 50 metros.

3. El minuto siguiente se recorren la tercera parte de 100 metros, 33,3
metros.

4. El minuto siguiente se recorren la cuarta parte de 100 metros, 25 metros.
y as´ı sucesivamente.

Dos corredores empiezan a la vez las carreras. Si la meta de la primera se
encuentra situada a 300 metros y la de la segunda a 1000 metros, ¿qui´en
llega primero a la meta y cu´anto tiempo tarda?
Llamamos D = 100 metros la distancia recorrida en el primer minuto. La
primera carrera va recorriendo las distancias:

D +D/2+D/4+D/8+ . . .

La segunda carrera va recorriendo las distancias:

D +D/2+D/3+D/4+ . . .

La pregunta es cu´al de estas sumas alcanza la distancia a la que est´a situada
la meta respectiva. Al acabar este tema deberemos ser capaces de dar una
respuesta razonada1.

Series de Convergencia
Son aplicables en caso de disponer de otra serie $\sum(b_n)$ tal que se conozca su condición, tal como la divergencia para la serie geométrica con razón (en valor absoluto) mayor que 1, |z| > 1. Entonces:

Criterio de comparación directa ( de la mayorante o de Gauss )

Si $0 < a_n \le b_n , \forall n \ge n_0$

Si $\sum(b_n)$ converge $\Rightarrow \sum(a_n)$ converge
Si $\sum(a_n)$ diverge $\Rightarrow \sum(b_n)$ diverge

Criterio de comparación por paso al límite del cociente

$\lim_{k \rightarrow \infty} \left ( \frac {a_{k}}{b_k} \right )=L$

Entonces:

Si $L = 0$ y $\sum(b_k)$ converge $\Rightarrow \sum(a_k)$ converge
Si $L=\infty$ y $\sum(b_k)$ diverge $\Rightarrow \sum(a_k)$ diverge
En otro caso, ambas series comparten la misma condición (ambas convergen, o bien ambas son divergentes).

CONVERGENCIA

Una serie alternada

a n

converge absolutamente si

$\sum_{n=1}^\infty \left| {a_n}\right|$

es una serie convergente. Se demuestra que una serie que converge absolutamente, es una serie convergente.

Criterio de D'Alembert

Sea una serie $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ , tal que

a k > 0

( serie de términos positivos).

Si existe

$\lim_{k \rightarrow \infty} \frac {a_{k+1}}{a_k}=L$

con $L \, \in \, [0, +\infty)$ , el Criterio de D'Alembert establece que:

si $L < 1$ , la serie converge.
si $L > 1$ , entonces la serie diverge.
si $L = 1$ , no es posible decir algo sobre el comportamiento de la serie.

En este caso, es necesario probar otro criterio, como el criterio de Raabe

Criterio de Cauchy

Si f(x) es una función positiva y monótonamente decreciente definida en el intervalo [1, ∞) tal que f(n) = a_n para todo n, entonces $\textstyle \sum{a_n}$ converge si y sólo si $\textstyle \int_1^\infty f(x)\,dx$ es finita.

Más generalmente, y para el tipo de función definida antes, pero en un intervalo [N,∞), la serie

$\sum_{n=N}^\infty f(n)$

converge si y sólo si la integral

$\int_N^\infty f(x)\,dx$

converge

Sea $\sum{a_n}$ una serie monótona de números positivos decrecientes. $\sum_{n=1}^\infty {a_n}$ converge si y sólo si la serie

$\sum_{n=1}^\infty {2^na_{2^n}}$ converge

BIBLIOGRAFIA:

http://es.wikipedia.org/wiki/Serie_matemática#Criterio_de_D.27Alembert_o_Criterio_del_Cociente_.28Criterio_de_la_raz.C3.B3n.29

MC. Marcel Ruiz Martínez

jueves, 26 de mayo de 2011

4.3 Serie de potencias.

Series de potencias. Desarrollos en serie
de Taylor
En la representación (e incluso en la construcción) de funciones, desempeñan un papel especialmente
destacado cierto tipo de series, denominadas series de potencias. Los aspectos profundos de su
estudio corresponden a la teoría de funciones de variable compleja más que a la teoría de funciones
de variable real, por lo que aquí damos simplemente algunas propiedades sencillas, suficientes para
nuestros propósitos.Series de potencias. Convergencia de las series de potencias. Recibe el nombre de serie de potencias toda serie de la forma ∞Σ n=0 an(x−c)n.
El número real an se denomina coeficiente n-ésimo de la serie de potencias (obsérvese que el término
n-ésimo de la serie es an(x−c)n). Si los coeficientes a0, a1, am−1 son nulos, la serie suele escribirse ∞Σ n=m an(x−c)n.
En cierto modo, se trata de una especie de polinomio con infinitos términos. Vamos a ver que las funciones definidas como suma de una serie de potencias comparten muchas propiedades con los
polinomios.
¿Para qué valores de x converge una serie de potencias? Obviamente, es segura la convergencia para x =c, con suma a0, y puede suceder que éste sea el único punto en el que la serie converge. Fuera de este caso extremo, la situación es bastante satisfactoria: veamos algunos ejemplos.
Ejemplos. a) La serie geométrica ∞Σ n=0 xn converge (absolutamente) si y solo si x " (−1,1) (con suma 1 1−x , como sabemos).

b) La serie ∞Σ n=1 xn n converge si y solo si x " [−1,1). Si x " (−1,1), converge absolutamente.
c) La serie ∞Σ n= xn n2 converge (absolutamente) si y solo si x " [−1,1].
d) La serie ∞Σ n=1(−1)nx2nn converge si y solo si x " [−1,1]. Si x " (−1,1), converge absolutamente.
e) La serie∞Σn=0xnn!converge (absolutamente) para todo x " R (y la suma es ex).
f) La serie∞Σn=0n!xn converge solamente para x = 0. Si para algún r " (0,+∞) la sucesión (anrn) está acotada, entonces para cada x " R tal que |x−c| < r la serie ∞Σ n=0 an(x−c)n es absolutamente convergente.

Serie de potencias ejemplos

Video explicado

4.4 Radio de convergencia.

Definición

Si nos limitamos al conjunto de los números reales, una serie de la forma \sum_{n=0} a_n(x-x_0)^n, con a_n,x,x_0\in\mathbb{R}, recibe el nombre de serie de potencias centrada en x0. La serie converge absolutamente para un conjunto de valores de x que verifica que | x − x0 | < r, donde r es un número real llamado radio de convergencia de la serie. Esta converge, pues, al menos, para los valores de x pertenecientes al intervalo (x0 − r, x0 + r), ya que la convergencia para los extremos de este ha de estudiarse aparte, por lo que el intervalo real de convergencia puede ser también semiabierto o cerrado. Si la serie converge solo para x0, r = 0.

Ejemplo:

Mostraremos el radio de convergencia de algunos desarrollos en series de potencias con sus respectivos radios de convergencia sin justificar porqué el radio de convergencia es el dado.
[editar] Radio de convergencia finito

La función 1 / (1 − x) en su desarrollo con centro 0, o sea, en series de potencia x − x0 = x − 0 = x, tiene el siguiente aspecto:

\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n=1+x+x^2+x^3+....

(para el cálculo de la serie vea serie de Taylor). Su radio de convergencia es r = 1. Eso significa que para calcular si tomo cualquier valor cuya distancia al x0 = 0 es menor que r = 1, por ejemplo el x = 0.25, entonces al remplazarlo en la serie el resultado de calcular la serie será el mismo que remplazarlo en la función, de hecho

\sum_{n=0}^\infty 0.25^n=1+0.25+0.25^2+0.25^3+...=\frac{4}{3}.

(la cuenta se puede hacer por serie de potencia). Y por otro lado

\frac{1}{1-0.25}=\frac{1}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4}{3}.

Pero si tomamos un elemento fuera del radio de convergencia, por ejemplo el x = 2, los más probable es que al remplazarlo en la serie, ésta diverja (por eso el nombre de radio de convergencia). Efectivamente:

\sum_{n=0}^\infty 2^n=1+2+2^2+2^3+...=\infty.
[editar] Distancia a la singularidad

El cálculo del radio de convergencia no es simple. Veamos una función con dos desarrollos en serie con distintos centros y analicemos sus radios de convergencia. La misma función 1 / (1 − x) en su desarrollo con centro x0 = 3 tiene la forma:

\frac{1}{1-x}=-\frac{1}{2}+\frac{x-3}{4}-\frac{(x-3)^2}{8}+\frac{(x-3)^3}{16}-....

Pero en este caso su radio de convergencia es r = 2. Notemos que la función 1 / (1 − x) tiene una singularidad en el 1; y que en los dos caso anteriores el radio de convergencia coincide con la distancia del centro a la singularidad: | 0 − 1 | = 1 y | 3 − 1 | = 2. Esto será siempre verdadero para ésta función, pero, no puede generalizarse, como veremos en el siguiente ejemplo:

\frac{1}{1+x^2}=\frac{1}{2}-\frac{x-1}{2}+\frac{(x-1)^2}{4}-\frac{(x-1)^4}{8}+\frac{(x-1)^5}{8}-...

Como no hay singularidades reales podría suponerse que el radio es infinito, sin embargo su radio de convergencia es r=\sqrt{2}/2. Este radio parece caprichoso pero tiene que ver con el hecho de que pasando la función a dominio complejo, existe una singularidad en el denominador. Por ejempo, la función ex puede desarrollarse en series de potencia de x − 0 = x, de hecho e^{x}=\sum_{n=0}^\infty x^n/n!=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+.... y esto vale para todo real x por eso el radio de convergencia será infinito.

http://es.wikipedia.org/wiki/Radio_de_convergencia

http://www.youtube.com/watch?v=Cmyxccsh8pc

miércoles, 25 de mayo de 2011

4.5 Serie de Taylor.

Las series de Taylor surgen de una ecuación que el desarrollo en la
cual se puede encontrar una solución aproximada a una función.
Esto creo que servía antes de que se inventaran las calculadoras
que pueden resolver funciones trigonométricas y exponenciales y
logarítmicas etc.

La serie de Taylor se basa en ir haciendo operaciones según una
ecuación general y mientras mas operaciones tenga la serie mas
exacto será el resultado que se esta buscando. Dicha ecuación es la
siguiente:

Con el objetivo solo de demostrar la serie se aplicara con las
funciones e, seno y coseno.
Como se puede observar en la ecuación, hay una parte en la cual hay
que desarrollar un binomio (x-a)n por lo que para simplificar el
asunto se igualara a "a" siempre a 0. Para fines prácticos no
afecta mucho en el resultado si se hacen muchas operaciones en la
serie.

Función e

Se puede aplicar la ecuación de las series de Taylor como mas
sencillo le resulte a cada quien, una de tantas formas la explicare
aquí.
Lo primero que se hace es derivar unas 3 o 4 veces la función, esto
porque algunas funciones empiezan a tener un patrón repetitivo
después de cierto numero de derivaciones, como la función e.
Después se tiene que sustituir "a" en cada una de las derivadas,
pero como se decidió que "a" era 0 se sustituye un 0 en cada
derivada y se observa que resultados da.

Esto de sustituir en cada derivada es
solo para simplificar la ecuación de la serie y para darnos una
idea de como se comporta la función.
Una vez que se tiene una idea del comportamiento de la función se
puede ir empezando a armar la ecuación de la serie:

Con las primeras operaciones que
se hicieron al principio se puede ver como se ira llenando la serie
mientras mas elementos se le agreguen para que el resultado sea mas
preciso.

Todo esto fue para ver como es la serie de la función e, ahora para

conocer algun resultado simplemente se sustituye en donde quedaron

las x y ya esta, por ejemplo:?

Función Seno

En el caso de la función seno el procedimiento que se sigue es el

mismo.

    Kline, M. (1990) Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. Oxford University Press. pp. 35-37.
    ↑ Boyer, C. and Merzbach, U. (1991) A History of Mathematics. John Wiley and Sons. pp. 202-203.
    ↑ «Neither Newton nor Leibniz - The Pre-History of Calculus and Celestial Mechanics in Medieval Kerala». MAT 314. Canisius College.

http://www.youtube.com/watch?v=cjPoEZ0I5wQ

4.6 Representación de funciones mediante la serie de Taylor.

La representación de du forma analítica: Funciones explícitas Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.

f(x) = 5x – 2

Funciones implícitas: Si no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones.

5x − y − 2 = 0

Funciones polinómicas: Son las funciones que vienen definidas por un polinomio.

f(x) = a0 + a1x + a2x² + a2x³ +••• + anxn

Su dominio es R, es decir, cualquier número real tiene imagen. Funciones polinómica de primer grado f(x) = mx +n Su gráfica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la función.

Funciones cuadráticas: f(x) = ax² + bx +c Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.

Funciones cubicas

f(x) = ax3 + bx + c. función polinomial de tercer grado ,

Funciones racional: El criterio viene dado por un cociente entre polinomios: El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan el denominador.

Funciones radicales

El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical. El dominio de una función irracional de índice impar es R. El dominio de una función irracional de índice par está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.

Funciones trascendente La variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se halla afectad:a del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometría.

Función exponencial: Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia ax se llama función exponencial de base a y exponente x.

Funciones logarítmicas: La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.

Funciones trigonométricas

Función seno

f(x) = sen x

Función coseno

f(x) = cos x

Función tangente

f(x) = tg x

Función cosecante

f(x) = cosec x

Función secante

f(x) = sec x

Función cotangente

f(x) = cotg x

Clasificación de funciones según su grafica: Una función es continua si su gráfica puede dibujarse de un solo trazo, es decir, si no presenta puntos de discontinuidad.

Una función es discontinua si tiene puntos en los cuales una pequeña variación de la variable independiente produce un salto en los valores de la variable dependiente. A estos puntos se les denomina puntos de discontinuidad.

Función estrictamente decreciente en un intervalo: Una función es estrictamente decreciente en un intervalo, si para dos valores cualesquiera del intervalo, y, se cumple que:

    Una función       es estrictamente creciente en un intervalo     , si para dos valores cualesquiera del intervalo,       y     , Kline, M. (1990) Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. Oxford University Press. pp. 35-37.
    ↑ Boyer, C. and Merzbach, U. (1991) A History of Mathematics. John Wiley and Sons. pp. 202-203.
    ↑ «Neither Newton nor Leibniz - The Pre-History of Calculus and Celestial Mechanics in Medieval Kerala». MAT 314. Canisius College.

Ejemplo:

http://www.youtube.com/watch?v=hgjTy3Kr-9Y&feature=related

jueves, 19 de mayo de 2011

4.7 Cálculo de Integrales de funciones expresadas como serie de Taylor.

Sea f(x) una función definida en un intervalo que contiene al punto a, con derivada de todos los órdenes.

El polinomio de primer grado p₁(x) = f(a) + f ' (a) (x-a) tiene el mismo valor que f(x) en el punto x=a y también, como se comprueba fácilmente, la misma derivada que f(x) en este punto. Su gráfica es una recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto a.

Es posible elegir un polinomio de segundo grado, p₂(x) = f(a) + f ' (a) (x-a) + ½ f ' ' (a) (x-a)², tal que en el punto x=a tenga el mismo valor que f(x) y valores también iguales para su primera y segunda derivadas. Su gráfica en el punto a se acercará a la de f(x) más que la anterior. Es natural esperar que si construimos un polinomio que en x=a tenga las mismas n primeras derivadas que f(x) en el mismo punto, este polinomio se aproximará más a f(x) en los puntos x próximos a a. Así obtenemos la siguiente igualdad aproximada, que es la fórmula de Taylor:

f(x) ≈ f(a) + f '(a) (x-a) + (1/2!) f ' '(a) (x-a)² + ...... + (1/n!) f⁽ⁿ⁾(a) (x-a)ⁿ

^{Link: http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Desarrollo_serie_taylor/Desarrollo_en_serie_de_taylor.htm}

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